矩阵快速幂

普通的快速幂

LL MODe(LL a,LL b)
{
    LL sum = 1;
    a %= MOD;
    while(b)
    {
        if(b & 1)
            sum = (sum * a) % MOD;
        a = (a * a) % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return sum;
}

矩阵快速幂

就是把数字a，b变成矩阵来求

实例：POJ3070

https://vjudge.net/problem/POJ-3070

$f（i） = f(i-1) + f(i-2)​$

/*-------------------------------------------------------------------------------------------*/
int a[MAX][MAX];
int b[MAX][MAX];

/* ------------------------------------------------------------------------------------------*/

void calculate(int a[][MAX],int b[][MAX])//这就是一个矩阵乘法
{
    int c[MAX][MAX];
    for(int i = 0;i < MAX_1;i++)
    {
        fill(c[i],c[i]+MAX,0);
    }
    for(int i =0;i < MAX_1;i++)
    {
        for(int j = 0;j < MAX_1;j++)
        {
            for(int k = 0;k < MAX_1;k++)
            {
                c[i][j] += (a[i][k]*b[k][j]) % MOD;
            }
        }
    }
    for(int i = 0;i < MAX_1;i++)
    {
        for(int j = 0;j < MAX_1;j++)
        {
            a[i][j] = c[i][j];
        }
    }
}

void Fibonacci(int n)//快速幂的过程
{
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            calculate(b,a);
        }
        calculate(a,a);
        n >>= 1;
    }
}

int main()
{
    while(cin >> N && N != -1)
    {
        //构造矩阵，相当于底数
        a[0][0] = 0;
        a[0][1] = 1;
        a[1][0] = 1;
        a[1][1] = 1;
        //相当于sum= 1
        b[0][0] = 1;
        b[0][1] = 0;
        b[1][0] = 0;
        b[1][1] = 1;
        if(N == 0)
        {
            cout << 0 <<endl;
            continue;
        }
        if(N == 1 || N == 2)
        {
            cout << 1 << endl;
            continue;
        }
        Fibonacci(N-2);
        cout << (b[0][1]+b[1][1]) % MOD << endl;
    }
    return 0;
}

实例2：

HBCPC-B

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/25999
$$
s[i] = s[i - 1]*q + q
$$
把这个递推式变成矩阵乘法

/*-------------------------------------------------------------------------------------------*/
LL a[MAX][MAX];
LL b[MAX][MAX];

/* ------------------------------------------------------------------------------------------*/
//这上面俩个函数都是一样样的，主要是构造的矩阵不同
int main()
{
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        LL n,q,mod;
        cin >> q >> n >> mod;
        //构造矩阵，相当于底数
        q %= mod;
        a[0][0] = q;
        a[0][1] = 0;
        a[1][0] = 1;
        a[1][1] = 1;
        //相当于sum= 1
        b[0][0] = 1;
        b[0][1] = 0;
        b[1][0] = 0;
        b[1][1] = 1;
        if(n == 0)
        {
            cout << 1 <<endl;
            continue;
        }
        if(n == 1 )
        {
            cout << q << endl;
            continue;
        }
        dengbi(n-1,mod);
        cout << ((b[0][0]+b[1][0]) *q)  % mod << endl;
    }
    return 0;
}